Практичне заняття № 1 2 (2+2 год.) 3
Практичне заняття № 3 (2 год.) 18
Практичне заняття № 4 (2 год.) 21
Практичне заняття № 5 (2 год.) 23
1 семестр
1 модуль
ДФН
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Елементи теорії множин.
Метод математичної індукції.
Границя числової послідовності.
Границя функції в точці.
Шкала порівняння функцій
Перша та друга важливі границі.
Неперервність функції в точці.
Рівномірна неперервність функції.
Класифікація точок розриву.
1
2
2
2+2
2
2+2
2
2
2
2 модуль
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Похідні елементарних функцій. Диференціал, його застосування до наближених обчислень.
Похідні функцій, заданих неявно.
Параметрично задані функції та їх диференціювання.
Похідні та диференціали вищих порядків.
Теореми Ролля, Лагранжа та Коші.
Правило Лопіталя.
Формула Тейлора.
Обчислення границь за допомогою формули Тейлора.
Монотонність функції. Екстремум функції.
Опуклість. Асимптоти. Графіки функцій.
2+2
2
2
2
2
2
2
2
2
2+2
Практичне заняття № 1 2 (2+2 год.)
Елементи математичної логіки і теорії множин. Метод математичної індукції. Біном Ньютона
Символи математичної логіки
Висловлення. Логічні операції
Висловленням будемо називати речення, якому можна приписати одне із значень істинності — істинне чи хибне.
ОЗНАЧЕННЯ. Запереченням висловлення називається висловлення, яке позначається або , значення істинності якого є протилежним до значення істинності .
Приклад
Нехай висловленням є таке
.
Тоді запереченням висловлення буде висловлення
. ▲
Значення істинності “істина” та “хиба” будемо позначати логічними значеннями “1” та “0” відповідно.
ОЗНАЧЕННЯ. Кон’юнкцією висловлень і називається висловлення (читається “ і ”), яке є істинним тоді і лише тоді, коли обидва висловлення і є істинними.
Для знаходження значень логічних операцій зручно будувати таблиці, в які заносяться значення логічних змінних та операцій над ними. Наприклад, таблиця істинності для кон’юнкції висловлень і матиме вигляд:
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
ОЗНАЧЕННЯ. Диз’юнкцією висловлень і називається висловлення (читається “ або ”), яке є хибним тоді і лише тоді, коли і і є хибними.
Таблиця істинності диз’юнкції висловлень і :
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
ОЗНАЧЕННЯ. Імплікацією висловлень і називається висловлення (читається “якщо , то ”, або “з випливає ”), яке є хибним лише тоді, коли є істинним, а — хибним:
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
ОЗНАЧЕННЯ. Еквівалентністю (або еквіваленцією) висловлень і називається висловлення (читається “ еквівалентне ”, або “ є необхідною і достатньою умовою для ”, або “ тоді і лише тоді, коли ”), яке є істинним тоді і лише тоді, коли значення істинності і співпадають (і, отже, хибним, якщо значення істинності і є різними):
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Для операцій , визначених на множині висловлень, справедливі такі логічні тотожності, які ще називають законами алгебри логіки:
Закон подвійного заперечення
.
Закон суперечності
.
Закон виключення третьої можливості (tertium non datur (лат.) — третього не дано)
.
Закони поглинання з логічними константами
,
.
Закони ідемпотентності
.
Закони де Моргана (закони двоїстості)
,
.
Комутативні (переставні) закони
,
.
Асоціативні закони
,
.
Дистрибутивні (розподільні) закони
,
.
Їх можна перевірити, виходячи безпосередньо з означень відповідних операцій або за допомогою таблиць істинності.
Доведемо, наприклад, перший із законів двоїстості 6): .
Побудуємо таблицю істинності:
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Значення результатів операцій та збігаються при усіх можливих наборах значень логічних змінних та , отже, . ▲
Кожну математичну теорему можна сформулювати у вигляді “Якщо , то ”. Висловлення називають умовою теореми, а — твердженням (наслідком) теореми. Для теореми (пряма теорема) імплікацію називають оберненою, — протилежною, а — протил...
